分析 (Ⅰ)由橢圓的定義,周長為4√3即可求得a的值,根據(jù)正三角形高求得c的值,即可求得b的值,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)出直線AB方程,利用CF2⊥AB,表示出直線CF2的方程,求得C點坐標(biāo),并將直線AB方程代入橢圓方程,求得關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,求得y1+y2及y1y2值,利用平行四邊形面積公式求得OACB的面積.
解答 解:(Ⅰ)x2a2+y2b2=1(a>b>0),由橢圓的定義,周長為4√3,
得4a=4√3,即a=√3,
由△AF1B為正三角形,周長為4√3,
∴邊長丨AF1丨=4√33,
∴AB邊高F1F2的長為√32丨AF1丨,
丨F1F2丨=2,即2c=2,c=1,
∵a2+b2=c2,
∴b=2,
故橢圓方程:x23+y22=1,
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:F2(1,0)由題意可知:設(shè)AB的方程可設(shè)x=ty+1,
由CF2⊥AB可知,CF2的方程為y=-t(x-1),
由{x=2y=−t(x−1),得C(2,-t),
由{x=ty+1x23+y22=1,消去x,整理得:(2t2+3)y2+4ty-4=0,
其判斷△=16t2+16(2t2+3)>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)則,
y1+y2=-4t2t2+3,y1y2=-42t2+3,
∴x1+x2=t(y1+y2)+2=62t2+3,
∵→OA=→BC,
∴四邊形0ACB為平行四邊形,且(x1,y1)=(2-x2,-t-y2),
∴{x1=2−x2y1=−t−y2,解得t=0,
{62t2+3=2−4t2t2+3=−t,解得t=0,
此時y1+y2=0,y1y2=-43,
∴SOACB=2S△OAB=12丨OF2丨•丨y1-y2丨=√(y1+y2)2−4y1y2,
=√0−4(−43)2,
=4√33.
點評 本題考查的知識點是橢圓的簡單性質(zhì),直線與圓錐曲線的綜合問題,聯(lián)立直線方程,運用韋達定理,考查運算能力,綜合性強,轉(zhuǎn)化困難,屬于難題.
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A. | √2-1 | B. | √2 | C. | √2−12 | D. | √3−12 |
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A. | 2 | B. | 4 | C. | 5 | D. | 6 |
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A. | x=1 | B. | x=-1 | C. | x=1或x=-1或x=0 | D. | x=0 |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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