Question

5．已知A（1，-2，1），向量$\overrightarrow{a}$=（-3，4，12），若向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{a}$的方向相同，且|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{a}$|
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M在直線OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B（x，y，z），根據(jù)$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$列方程解出x，y，z；
（2）由O，A，M三點(diǎn)共線可設(shè)$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$，求出$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}$的坐標(biāo)，得出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$關(guān)于λ的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的λ的值，從而得出M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)B（x，y，z），則$\overrightarrow{AB}$=（x-1，y+2，z-1），
∵向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{a}$的方向相同，且|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$．∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-6}\\{y+2=8}\\{z-1=24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=6}\\{z=25}\end{array}\right.$．
∴B（-5，6，25）．
（2）∵點(diǎn)M在直線OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，∴$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$=（λ，-2λ，λ）．
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}$=（1-λ，-2+2λ，1-λ），$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}$=（-5-λ，6+2λ，25-λ）．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1-λ）（-5-λ）+（-2+2λ）（6+2λ）+（1-λ）（25-λ）=6λ²-14λ+8=6（λ-$\frac{7}{6}$）²-$\frac{1}{6}$．
∴當(dāng)$λ=\frac{7}{6}$時(shí)，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取得最小值．
∴M（$\frac{7}{6}$，-$\frac{7}{3}$，$\frac{7}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的共線定理，向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．