Question

11．為選拔選手參加“中國漢字聽寫大會”，某中學舉行了一次“漢字聽寫大賽”活動．為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數據）．

（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；
（2）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取3名學生參加“中國漢字聽寫大會”，設隨機變量X表示所抽取的3名學生中得分在[80，90）內的學生人數，求隨機變量X的分布列及數學期望．
（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取3名學生參加“中國漢字聽寫大會”，求所抽取的3名學生中得分在[80，90）內的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率公式和圖求出樣本容量n，由頻率分布直方圖中的數據求出x、y的值；
（2）先求出分數在[80，90）、[90，100]內的學生人數，求出抽取的3名學生中得分在[80，90）的人數X的可能取值，由概率公式分別求出它們的概率并列出X的分布列，代入公式求出EX．
（3）由排列組合知識可求得．

解答 解：（1）由題意可知，樣本容量$n=\frac{8}{0.016×10}=50$，$y=\frac{2}{50×10}=0.004$，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．
（2）由題意可知，分數在[80，90）內的學生有5人，分數在[90，100]內的學生有2人，共7人．抽取的3名學生中得分在[80，90）的人數X的可能取值為1，2，3，則$P（X=1）=\frac{C_5^1C_2^2}{C_7^3}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}$，$P（X=2）=\frac{C_5^2C_2^1}{C_7^3}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$，$P（X=3）=\frac{C_5^3C_2^0}{C_7^3}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}$．

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

所以X的分布列為
所以$EX=1×\frac{1}{7}+2×\frac{4}{7}+3×\frac{2}{7}=\frac{15}{7}$．
（3）由于競賽成績在80分以上（含80分）的學生數為：（0.010+0.004）×10×50=7，分數在[80，90）內的學生有5人，
∴抽取的3名學生中得分在[80，90）內的概率為：$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{7}^{3}}=\frac{2}{7}$．

點評 本題考查莖葉圖、頻率分布直方圖，考查隨機了的分布列及其數學期望，考查學生的識圖能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題