Question

9．函數(shù)f（x）=log_a（x³-2ax）（a＞0且a≠1）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　�。�

• A． 1＜a≤4
• B． 1＜a≤8
• C． 1＜a≤12
• D． 1＜a≤24

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=log_a（x³-2ax）（a＞0且a≠1）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)冪函數(shù)類(lèi)函數(shù)的遞增趨勢(shì)知當(dāng)自變量大到一定程度，內(nèi)層函數(shù)一定是增函數(shù)，由此可以判斷出外層函數(shù)一定是增函數(shù)，即底數(shù)大于1，又由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以判斷出內(nèi)層函數(shù)在（4，+∞）上單調(diào)遞增，故可以導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正來(lái)得到參數(shù)的不等式，由此解出參數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=log_a（x³-2ax）（a＞0且a≠1）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，
故外層函數(shù)是增函數(shù)，由此得a＞1，
又內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間在（4，+∞）上單調(diào)遞增，
令t=x³-2ax
則t′=3x²-2a≥0在（4，+∞）上恒成立，
即3x²≥2a在（4，+∞）上恒成立
故2a≤48，即a≤24，
又由真數(shù)大于0，故，64-8a≥0，
故a≤8，由上得a的取值范圍是1＜a≤8，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，本題考查依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化出函數(shù)中參數(shù)所滿(mǎn)足的不等式或者方程求參數(shù)，這類(lèi)題是復(fù)合函數(shù)考查的一大類(lèi)題型，難度較大，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，比如在本題中就容易忘記真數(shù)大于為這一隱含條件．