Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=e^ax-1，其中a∈R，e=2.718…
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，求f（x）在x=1處的切線方程
（Ⅲ）求證：當(dāng)x＞1時．$\frac{1}{x}$$＞\frac{e}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，對a分類討論，a=0，a＞0，a＜0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，即可討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求切線的方程；
（Ⅲ）要證$\frac{1}{x}$$＞\frac{e}{{e}^{x}}$（x＞1），即$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$＞0，也就是證$\frac{{e}^{x}}{x}$＞e，令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=e^ax-1，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=ae^ax-1，
當(dāng)a=0時，f（x）=e^-1，無單調(diào)性；
當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0，f（x）在R上遞增；
當(dāng)a＜0時，f′（x）＜0，f（x）在R上遞減；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=e^x-1，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1，
f（x）在x=1處的切線的斜率為k=e⁰=1，
切點為（1，1），
則f（x）在x=1處的切線的方程為y-1=x-1，
即為x-y=0；
（Ⅲ）證明：要證$\frac{1}{x}$$＞\frac{e}{{e}^{x}}$（x＞1），
即$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$＞0，
也就是證$\frac{{e}^{x}}{x}$＞e，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則h（x）_min=h（1）=e，
即當(dāng)x＞1時，h（x）＞e，
∴當(dāng)x＞1時，$\frac{1}{x}$$＞\frac{e}{{e}^{x}}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法和構(gòu)造函數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．