【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,焦點在軸上的橢圓經(jīng)過點,其中為橢圓的離心率.過點作斜率為的直線交橢圓兩點(軸下方).

(1)求橢圓的方程;

(2)過原點且平行于的直線交橢圓于點, ,求的值;

(3)記直線軸的交點為.若,求直線的斜率.

【答案】(1);(2);(3)

【解析】試題分析:(1)將點坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡可得(2)根據(jù)投影可得,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達定理代入化簡可得定值(3)先求交點坐標(biāo),再根據(jù),得,利用(2)韋達定理得等量關(guān)系,解出直線的斜率.

試題解析:(1)因為橢圓經(jīng)過點,所以.

因為,所以.

因為,所以.

整理得,解得(舍),所以橢圓的方程為.

(2)設(shè), .因為,則直線的方程為.

聯(lián)立直線與橢圓方程,

消去,得,所以.

因為,所以直線方程為

聯(lián)立直線與橢圓方程,消去,解得.

因為,所以.

因為 ,

,

所以 .

(3)在中,令,則,所以,

從而, .

因為,所以,即.

由(2)知, .

,解得, .

因為,所以,

整理得,解得(舍).

又因為,所以.

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