如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE＝1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為．

（Ⅰ）若F是線段CD的中點，證明：EF⊥面DBC;
（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的平面角的余弦值為．

解析試題分析：（Ⅰ）此題關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，需要找三條兩兩垂直的直線，注意到△ABC是邊長為2的等邊三角形，可考慮取AB的中點O，則，取BD的中點為G，則，從而得到三條兩兩垂直的直線，這樣就可以建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)題中條件，求出個點坐標(biāo)，要證明面，只需證平行平面的一個法向量即可，此題也可以用傳統(tǒng)方法來解；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值，只需找出平面的一個法向量，利用法向量來求即可，值得注意的是，需要判斷二面角是鈍角還是銳角，否則求出的值不對.
試題解析：（Ⅰ）證明：取AB的中點O，連結(jié)OC,OD，則，即是與平面所成角，，取BD的中點為G，以為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，取BC的中點為M，則面
，所以，所以面；
 
（Ⅱ）解：由上面知： ，又取平面DEC的一個法向量，又，設(shè)平面BCE的一個法向量,由,由此得平面BCE的一個法向量  則，所以二面角的平面角的余弦值為．
考點：本小題考查線面垂直的判定以及二面角的求法，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力以及空間想象能力，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD＝1，CD＝3，PD＝.
 
(1)證明：△PBC為直角三角形；
(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.點E，F分別為側(cè)棱PB，PC上的點，且＝λ.

(1)求證：EF∥平面PAD.
(2)當(dāng)λ＝時，求異面直線BF與CD所成角的余弦值；
(3)是否存在實數(shù)λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側(cè)面底面，且．

(1)求證：面平面；
(2)求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在長方體,中,,點在棱AB上移動.

（Ⅰ）證明:;
（Ⅱ）當(dāng)為的中點時,求點到面的距離;
（Ⅲ）等于何值時,二面角的大小為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，△是邊長為的等邊三角形，平面，，分別是，的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）若為上的動點，當(dāng)與平面所成最大角的正切值為時，求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現(xiàn)將沿折起到的位置（如圖（2））．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，直線與平面所成的角為，求長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，頂點在底面內(nèi)的射影恰好落在的中點上，又，且

（1）求證：；
（2）若，求直線與所成角的余弦值；
（3）若平面與平面所成的角為，求的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

．(本題14分)已知空間三點A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)
⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；
⑵若向量分別與向量垂直，且＝，求向量的坐標(biāo)。

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