Question

13．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C．
（2）已知斜率為2的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且與軌跡C相交于A、B兩點(diǎn)．求弦長(zhǎng)|AB|．

Answer 1

分析 （1）把y軸向左平移2個(gè)單位變?yōu)閤=-2，此時(shí)點(diǎn)M到直線x=-2的距離等于它到點(diǎn)（2，0）的距離，即可得到點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）設(shè)直線l的傾斜解為α，則l與y軸的夾角θ=90°-α，cotθ=tanα=2，sinθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，然后求出|AB|．

解答 解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2，
所以點(diǎn)M到直線x=-2的距離等于它到點(diǎn)（2，0）的距離，
因此點(diǎn)M的軌跡為拋物線，方程為y²=8x．
（2）設(shè)直線l的傾斜角為α，則l與y軸的夾角θ=90°-α，
由題意，cotθ=tanα=2，
∴sinθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴|AB|=$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$=40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)M的軌跡方程，考查拋物線的定義，考查拋物線的焦點(diǎn)弦的求法，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．