Question

8．長方體ABCD-A′B′C′D′中，交于頂點A的三條棱長分別為AD=3，AA′=2，AB=4，則從點A沿表面到C′的最短距離為（　�。�

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{41}$
• C． $\sqrt{53}$
• D． $\sqrt{45}$

Answer 1

分析 A點沿表面到C′共有三種情況，一是經(jīng)平面AB′，A′C′，二是經(jīng)平面AB′，BC′，三是經(jīng)平面AC，BC′，畫出三種情況下|AC′|的圖形，并利用勾股定理進行求解，最后比較三個結(jié)果，最小的即為答案．

解答 解：從A點沿表面到C′的情況可以分為以下三種：
①與A′B′相交，如下圖示：

此時AC′=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{74}$．
②與BB′相交，如下圖示：

此時AC′=$\sqrt{{7}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{53}$．
③與BC相交，如下圖示：

此時AC′=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{45}$
綜上，從A點沿表面到C′的最短距離為 $\sqrt{45}$．
故選：D．

點評 本題考查的知識點是多面體表面上的最短距離問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，讓問題更直觀是解答本題的關(guān)鍵．