Question

記函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

2

在（0，+∞）的值域?yàn)镸，g（x）=（x+1）²+a在（-∞，+∞）的值域?yàn)镹，若N⊆M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a≥

  1

  2

• B、a≤

  1

  2

• C、a≥

  1

  3

• D、a≤

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的值域

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

2

在（0，+∞）的值域?yàn)镸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解g（x）=（x+1）²+a在（-∞，+∞）的值域?yàn)镹，
最后利用集合的關(guān)系判斷答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

2

，
∴f′（x）=x²-x，x∈（0，+∞）
因?yàn)閒′（x）=x²-x=0，x=0，x=1
f′（x）=x²-x＞0，x＞1，
f′（x）=x²-x＜0，0＜x＜1
故f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）在x=1時(shí)，f（x）_極小值=f（1）=

1

3

-

1

2

+

1

2

=

1

3

，
∵函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

2

在（0，+∞）的值域?yàn)镸，
∴值域?yàn)镸：[

1

3

，+∞），
∵g（x）=（x+1）²+a在（-∞，+∞）的值域?yàn)镹，
∴N=[a，+∞）
又N⊆M，所以a≥

1

3

，
故選；C

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)在求解最值中的應(yīng)用，結(jié)合集合的關(guān)系判斷求解，屬于中檔題．