Question

20．已知過函數(shù)f（x）=x³+ax²+1的圖象上一點(diǎn)B（1，b）的切線的斜率為-3．
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范圍，使不等式f（x）≤A-1993對(duì)于x∈[-1，4]恒成立；
（3）令g（x）=-f（x）-3x²+tx+1．是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g（x）有最大值1？

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=-3，求出a，把B代入函數(shù)表達(dá)式，求出b即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的極值點(diǎn)，計(jì)算極值和端點(diǎn)值，得到關(guān)于A的不等式，解出即可；
（3）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論t的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出滿足條件的t的值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax
依題意得k=f′（1）=3+2a=-3，
∴a=-3，∴f（x）=x³-3x²+1，
把B（1，b）代入得b=f（1）=-1，
∴a=-3，b=-1    …（3分）
（2）令f′（x）=3x²-6x=0，得x=0或x=2，
∵f（0）=1，f（2）=2³-3×2²+1=-3，
f（-1）=-3，f（4）=17，
∴x∈[-1，4]，-3≤f（x）≤17，
要使f（x）≤A-1993對(duì)于x∈[-1，4]恒成立，
則f（x）的最大值17≤A-1993，
∴A≥2010．   …（7分）
（3）已知g（x）=-（x³-3x²+1）-3x²+tx+1=-x³+tx，
∴g′（x）=-3x²+t，
∵0＜x≤1，∴-3≤-3x²＜0，
①當(dāng)t＞3時(shí)，t-3x²＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（0.1]上為增函數(shù)，
g（x）的最大值g（1）=t-1=1，得t=2（不合題意，舍去）
②當(dāng)0≤t≤3時(shí)，g′（x）=-3x²+t，
令g′（x）=0，得x=$\sqrt{\frac{t}{3}}$，
列表如下：

x	（0，$\sqrt{\frac{t}{3}}$）	$\sqrt{\frac{t}{3}}$	$（\sqrt{\frac{t}{3}}，1]$
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

g（x）在x=$\sqrt{\frac{t}{3}}$處取最大值-${（{\sqrt{\frac{t}{3}}}）^3}$+t$\sqrt{\frac{t}{3}}$=1，
∴t=$\root{3}{{\frac{27}{4}}}$=$\frac{{3\root{3}{2}}}{2}$＜$\sqrt{\frac{t}{3}}$，
∴x=$\sqrt{\frac{t}{3}}$＜1，
③當(dāng)t＜0時(shí)，g′（x）=-3x²+t＜0，
∴g（x）在（0，1]上為減函數(shù)，
∴g（x）在（0，1]上為增函數(shù)，
∴存在一個(gè)t=$\frac{{3\root{3}{2}}}{2}$，使g（x）在（0.1]上有最大值1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．