Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x-x-2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若k為正整數(shù)，且當x＞0時，$\frac{1}{f'（x）}+1＞\frac{k}{x+1}$，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，確定切線的斜率，切點坐標，即可求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若k為正整數(shù)，且當x＞0時，$\frac{1}{f'（x）}+1＞\frac{k}{x+1}$，k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x+1，求出右邊最小值的范圍，即可求k的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-x-2，
∴f′（x）=e^x-1，
∴f′（0）=e⁰-1=0，
∵f（0）=-1，
∴曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-1；
（2）∵當x＞0時，$\frac{1}{f'（x）}+1＞\frac{k}{x+1}$，
∴k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x+1，
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x+1，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$．
∵f（x）=e^x-x-2，∴f′（x）=e^x-1
∴當x＞0時，f′（x）=e^x-1＞0
∴函數(shù)f（x）單調遞增，
∴f（x）＞f（0）=-1，
∴存在x₀∈（1，2），使得${e}^{{x}_{0}}$-x₀-2=0，g（x）在（0，x₀）上單調遞減，（x₀，+∞）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}+1}{{e}^{{x}_{0}}-1}$+x₀+1=x₀+2∈（3，4），
∴k為正整數(shù)，∴k的最大值是3．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何運用，考查恒成立問題，正確運用導數(shù)是關鍵．