Question

11．函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2x+9}$（x＞0）的值域為（0，$\frac{1}{8}$]．

Answer 1

分析 由x＞0便可變形f（x）=$\frac{1}{x+\frac{9}{x}+2}$，而由基本不等式即可得出$x+\frac{9}{x}$的范圍，從而可得出$\frac{1}{x+\frac{9}{x}+2}$的范圍，即得出f（x）的值域．

解答 解：∵x＞0；
∴$f（x）=\frac{x}{{x}^{2}+2x+9}=\frac{1}{x+\frac{9}{x}+2}$；
∵$x+\frac{9}{x}≥6$，當x=3時取“=”；
∴$x+\frac{9}{x}+2≥8$；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{9}{x}+2}≤\frac{1}{8}$；
∴f（x）的值域為$（0，\frac{1}{8}]$．
故答案為：$（0，\frac{1}{8}]$．

點評 考查函數(shù)值域的概念及求法，基本不等式在求值域中的應用，應用基本不等式時要判斷等號能否取到，以及不等式的性質．