Question

設(shè)f（x）=

2x，x≤0 log2x，x＞0

關(guān)于x的方程是f²（x）-af（x）=0．
（1）若a=1，則方程有

 

個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可以先分別畫(huà)出函數(shù)f（x）與f（x）=log₂x的圖象，然后結(jié)合圖象的特征即可獲得解答

解答： 解：作出函數(shù)作出函數(shù)f（x）=2^x與f（x）=log₂x的圖象：

（1）a=1時(shí)，方程是f²（x）-af（x）=0可化為f²（x）-f（x）=0，
即f（x）[f（x）-1]=0，解得f（x）=0、f（x）=1，
方程f（x）=0的根為惟一根：x=1，
方程f（x）=1的根可看做函數(shù)y=1與函數(shù)y=f（x）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖：

從圖象知：有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程f（x）=1的根有2個(gè)，
∴a=1時(shí)，則方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根；
故答案為：3
（2）方程是f²（x）-af（x）=0可化為f（x）[f（x）-a]=0，解得f（x）=0、f（x）=a，
方程f（x）=0的根為惟一根：x=1、
方程f（x）=a的根可看做函數(shù)y=a與函數(shù)y=f（x）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖：

結(jié)合函數(shù)的圖象：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，y=a與函數(shù)y=f（x）圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故方程f（x）=a有2個(gè)根，
∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)，方程是f²（x）-af（x）=0有3個(gè)根，
故答案為：0＜a≤1

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．