Question

已知定義域R的函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）對任意實數(shù)x恒成立，當0≤x≤1時，f（x）=x．
（1）求當-1≤x＜0時，f（x）的解析式；
（2）求當x∈[2k-1，2k+1），（k∈Z）時，函數(shù)f（x）的解析式；
（3）求方程f（x）=

1

2

在區(qū)間[-1，2013]內(nèi)的所有解的集合．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）當-1≤x＜0時，0≤-x＜1，從而f（x）=f（-x）=-x；
（2）由（1）及已知得當x∈[2k-1，2k+1），（k∈Z）時，從而f（x）=|x-2k|；
（3）f（x）=

1

2

?|x-2k|=

1

2

?x=2k±

1

2

，k∈Z，求出k的范圍即可．

解答： 解：（1）當-1≤x＜0時，0≤-x＜1，
∴f（-x）=-x，
∴f（x）=f（-x）=-x，
故當-1≤x＜0時，
∴f（x）=-x；
（2）由（1）及已知得
當-1≤x＜1時f（x）=|x|，
當x∈[2k-1，2k+1），（k∈Z）時，
x-2k∈[-1，1），
∴f（x-2k）=|x-2k|，
又f（x+2）=f（x），
∴f（x-2k）=f（x），
所以f（x）=|x-2k|．
故f（x）=|x-2k|，x∈[2k-1，2k+1），（k∈Z），
（3）f（x）=

1

2

?|x-2k|=

1

2

?x=2k±

1

2

，k∈Z，
故f（x）=y在[-1，2013]內(nèi)的解集為{x|x=2k±

1

2

，k∈Z，k=0，1，2，…，1006}．

點評：本題考查了根的存在性，考查函數(shù)解析式的求法，本題屬于中檔題．