Question

1．給出下列4個命題：
①在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“A=B”的充要條件；
②b²=ac是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件；
③若log_a2＜log_b2＜0，則a＞b；
④若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），則f（sinθ）＞f（cosθ）；  
其中真命題的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷，
②根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷，
③根據(jù)對數(shù)的換底公式進行判斷，
④根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化判斷．

解答 解：①若A=B，則cosA+sinA=cosB+sinB成立，即必要性成立，
若cosA+sinA=cosB+sinB，則$\sqrt{2}$cos（A-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos（B-$\frac{π}{4}$），
則A-$\frac{π}{4}$=B-$\frac{π}{4}$或A-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$-B，
則A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，則充分性不成立，即，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“A=B”的充要條件錯誤，故①錯誤，
②當a=b=c=0時，滿足b²=ac成立，但a，b，c不能成等比數(shù)列，故b²=ac是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件錯誤，故②錯誤
③若log_a2＜log_b2＜0，則$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$＜$\frac{1}{lo{g}_{2}b}$＜0，
則log₂b＜log₂a＜0，則a＞b成立；故③正確，
④若θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），則sinθ＞cosθ，
∵f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，則f（sinθ）＜f（cosθ）；故④錯誤，
故正確的是③，
故選：A

點評 本題主要考查命題的真假判斷涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．