Question

6．已知函數(shù)f（x）=asin3x+bx³+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f（2014）+f（-2014）+f′（2015）-f′（-2015）=8．

Answer 1

分析 觀察已知解析式f（x）=asin3x+bx³+4，構(gòu)造g（x）=f（x）-4=asin3x+bx³是奇函數(shù)，而它的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)解答．

解答 解：由已知，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-4=asin3x+bx³是奇函數(shù)，
由g（-x）=-g（x），
∴g（x）為奇函數(shù)，
f′（x）=3acos3x+3bx²為偶函數(shù)，
∴f′（-x）=f′（x），
∴f（2014）+f（-2014）+f′（2015）-f′（-2015）=g（2014）+4+g（-2014）+4+f′（2015）-f′（2015）=g（2014）-g（2014）+f′（2015）-f′（2015）+8=8．
故答案為：8．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算以及函數(shù)奇偶性的運用，考查構(gòu)造法，屬于基礎(chǔ)題．