Question

20．若f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x恒大于0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式及二次函數(shù)的配方法可得f（x）=（cosx-a）²-a²-2a，分a＜-1、-1≤a≤1及a＞1三類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得a在不同范圍內(nèi)的f（x）的最小值，與a的范圍聯(lián)立不等式組求得a的范圍，最后取并集得答案．

解答 解：由f（x）=1-2a-2acosx-sin²x=1-2a-2acosx-（1-cos²x）
=cos²x-2acosx-2a=（cosx-a）²-a²-2a．
這里-1≤cosx≤1．
①若-1≤a≤1時(shí)，則當(dāng)cosx=a時(shí)，f（x）_min=-a²-2a，
由$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{{a}^{2}-2a＞0}\end{array}\right.$，解得-1≤a＜0；
②若a＞1，則當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）_min=1-4a，
由$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{1-4a＞0}\end{array}\right.$，解得a∈∅；
③若a＜-1，則當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）_min=1＞0恒成立．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，考查了配方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．