Question

11．以下四個(gè)命題中：
①已知圓C上一定點(diǎn)A和一動(dòng)點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}$），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓；
②設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}}$|-|${\overrightarrow{PB}}$|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
③0＜θ＜$\frac{π}{4}$，則雙曲線C₁：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1與C₂：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1的離心率相同；
④已知兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）和一動(dòng)點(diǎn)P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），則點(diǎn)P的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
其中正確命題的序號(hào)為①③④        ．

Answer 1

分析 ①由題意，CP⊥AB，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以CA為直徑的圓；②利用雙曲線的定義，即可得出結(jié)論；③求出離心率，即可判斷；④化簡(jiǎn)整理，即可分析其正誤．

解答 解：①由題意，CP⊥AB，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以CA為直徑的圓，正確；
②平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)k（k＜|F₁F₂|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，①中當(dāng)0＜k＜|AB|時(shí)是雙曲線的一支，當(dāng)k=|AB|時(shí)，表示射線，∴不正確；
③0＜θ＜$\frac{π}{4}$，則雙曲線C₁：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1與C₂：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1的離心率相同，都為$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$，正確；
④設(shè)P（x，y）為曲線|PF₁|•|PF₂|=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上任意一點(diǎn)，
則P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)（0，0）的對(duì)稱點(diǎn)為P′（-x，-y），可得P′（-x，-y）也在曲線$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上，
∴點(diǎn)P的軌跡曲線$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即④正確；
綜上所述，正確的是①③④．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查圓錐曲線的概念及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．