Question

13．設(shè)M是49個不同的自然數(shù)構(gòu)成的集合，M中每一個數(shù)的素因子均小于10，求證：從M中一定可選出四個不同的數(shù)，使它們之積等于一個自然數(shù)的四次方．

Answer 1

分析 不超過10的質(zhì)數(shù)為：2，3，5，7．可得這49個正整數(shù)可以表示為${2}^{{α}_{1}}$，3${\;}^{{α}_{2}}$，5${\;}^{{α}_{3}}$，7${\;}^{{α}_{4}}$．其中α₁≥0，α₂≥0，α₃≥0，α₄≥0．考慮（α₁，α₂，α₃，α₄）的奇偶性類型，共有2⁴=16種，在49個正整數(shù)中可以一對（${{α}_{1}}^{′}$，${{α}_{2}}^{′}$，${{α}_{3}}^{′}$，${{α}_{4}}^{′}$）和（α^″₁，${{α}_{2}}^{″}$，a₃″，a₄″）有相同的奇偶性，由此分析，即可得出結(jié)論．

解答 解：不超過10的質(zhì)數(shù)為：2，3，5，7．
∴這49個正整數(shù)可以表示為${2}^{{α}_{1}}$，3${\;}^{{α}_{2}}$，5${\;}^{{α}_{3}}$，7${\;}^{{α}_{4}}$．其中α₁≥0，α₂≥0，α₃≥0，α₄≥0．
考慮（α₁，α₂，α₃，α₄）的奇偶性類型，共有2⁴=16種，
在49個正整數(shù)中可以一對（${{α}_{1}}^{′}$，${{α}_{2}}^{′}$，${{α}_{3}}^{′}$，${{α}_{4}}^{′}$）和（α^″₁，${{α}_{2}}^{″}$，a₃″，a₄″）有相同的奇偶性，然后在剩下49-2個數(shù)中又可以找出兩個，他們的指數(shù)（${{α}_{1}}^{′}$，${{α}_{2}}^{′}$，${{α}_{3}}^{′}$，${{α}_{4}}^{′}$）和（α^″₁，${{α}_{2}}^{″}$，a₃″，a₄″）有相同的奇偶性，如此下去，由于49-2×16＞16，故可得16對（${{α}_{1}}^{′}$，${{α}_{2}}^{′}$，${{α}_{3}}^{′}$，${{α}_{4}}^{′}$）和（α^″₁，${{α}_{2}}^{″}$，a₃″，a₄″），且有α_i′+α_i″=2β_i（i=1，2，3，4），最后在上述（β₁，β₂，β₃，β₄）中必有兩個（β₁′，β₂′，β₃′，β₄′）、（β₁′′，β₂′′，β₃′′，β₄′′）有相同的奇偶性，∴β_i′+β_i′′=2γ_i，設(shè)α_i′+α_i′′=2β_i′，$\overline{{α}_{i}}$+$\overline{\overline{{α}_{i}}}$=2β_i′′，則α_i′+α_i′′+$\overline{{α}_{i}}$+$\overline{\overline{{α}_{i}}}$=4γ_i，∴從M中一定可選出四個不同的數(shù)，使它們之積等于一個自然數(shù)的四次方．

點評 本題考查進(jìn)行簡單的合情推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．