Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，等邊△PAD所在的平面與正方形ABCD所在的平面互相垂直，O為AD的中點(diǎn)，E為DC的中點(diǎn)，且AD=2．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-EB-A的余弦值；
（Ⅲ）在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使線段PM與△PAD所在平面成30°角．若存在，
求出AM的長，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)三線合一得出AO⊥AD，利用面面垂直的性質(zhì)即可得出AO⊥平面ABCD；
（II）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBE和平面ABE的法向量，則兩法向量夾角的余弦的絕對(duì)值為二面角的余弦值；
（III）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M（1，x，0），求出平面PAD的法向量$\overrightarrow{OF}$，則|cos＜$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{OF}$＞|=$\frac{1}{2}$，解方程得出x，根據(jù)x的范圍判斷．

解答 解：（Ⅰ）∵△PAD是等邊三角形，O為AD的中點(diǎn)，
∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取BC的中點(diǎn)F，
∵底面ABCD是正方形，∴OF⊥AD，
∴PO，OF，AD兩兩垂直．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A、OF、OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則O（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），E（-1，1，0），
∴$\overrightarrow{EP}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EB}$=（2，1，0），$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$）．
顯然平面EBA的法向量為$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$）．
設(shè)平面PBE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{3}z=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}$=-3，|$\overrightarrow{n}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OP}$＞=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∵二面角P-EB-A為銳角，∴二面角P-EB-A的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（Ⅲ）設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)M（1，x，0）（0＜x≤2）使線段PM與平面PAD所在平面成30°角，
∵平面PAD的法向量為$\overrightarrow{OF}$=（0，2，0），$\overrightarrow{PM}$=（1，x，-$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{PM}$＞=$\frac{\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{PM}}{|\overrightarrow{OF}||\overrightarrow{PM}|}$=$\frac{x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$．
∴sin30°=$\frac{x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，符合題意．
∴在線段AB上存在點(diǎn)M，當(dāng)線段$AM=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，PM與平面PAD所在平面成30°角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，空間角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．