Question

17．已知曲線C：y=2x³-3x²-2x+1，點P（$\frac{1}{2}$，0），
（1）求過點P的切線l的方程；
（2）求切線l與曲線C所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點為（m，n），則n=2m³-3m²-2m+1，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運用點斜式方程，可得切線的方程，代入P的坐標，解方程可得m=0，求得切點和切線的斜率，即可得到所求切線的方程；
（2）求出切線與曲線的交點，由定積分可得圍成圖形的面積為S=${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（-2x³+3x²）dx，運用積分公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)切點為（m，n），則n=2m³-3m²-2m+1，
y=2x³-3x²-2x+1的導(dǎo)數(shù)為y′=6x²-6x-2，
可得切線的斜率為k=6m²-6m-2，
即有切線的方程為y-（2m³-3m²-2m+1）=（6m²-6m-2）（x-m），
將點P（$\frac{1}{2}$，0），代入可得-（2m³-3m²-2m+1）=（6m²-6m-2）（$\frac{1}{2}$-m），
化為m（4m²-6m+3）=0，可得m=0或4m²-6m+3=0，
由于判別式為36-4×4×3＜0，則方程4m²-6m+3=0無實數(shù)解．
即有切線l的方程為y=-2x+1；
（2）將切線y=1-2x代入y=2x³-3x²-2x+1，
解得x=$\frac{3}{2}$，y=-2，即交點為B（$\frac{3}{2}$，-2），
又切點為A（0，1），
可得切線l與曲線C所圍成的圖形的面積是
S=${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（1-2x-2x³+3x²+2x-1）dx
=${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（-2x³+3x²）dx=（x³-$\frac{1}{2}$x⁴）|${\;}_{0}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{27}{8}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{81}{16}$=$\frac{27}{32}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查切線與曲線圍成圖象的面積的求法，注意運用定積分，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．