Question

18．一個盒子中裝有大小相同的小球n個，在小球上分別標有1，2，3，…，n的號碼，已知從盒子中隨機地取出3個球，3個球的號碼最大值為n的概率為$\frac{3}{8}$．
（1）求n的值；
（2）現(xiàn)從盒子中隨機地取出4個球，記所取4個球的號碼中，連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)的最大值為隨機變量ξ（如取2468時，ξ=1；取1246時，或取1245時，ξ=2；取1235時，ξ=3）．
（i）求 P（ξ=3）的值；        
（ii）求隨機變量ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）由題意$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{C}_{n}^{3}}$=$\frac{3}{8}$，由此能求出n．
（2）（i）基本事件總數(shù)n=${C}_{8}^{4}$，ξ=3包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}$，由此能求出P（ξ=3）．
（ii）由題意知ξ的所有可能取值為1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵一個盒子中裝有大小相同的小球n個，
在小球上分別標有1，2，3，…，n的號碼，已
從盒子中隨機地取出3個球，3個球的號碼最大值為n的概率為$\frac{3}{8}$．
∴$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{C}_{n}^{3}}$=$\frac{3}{8}$，
解得n=8．
（2）（i）基本事件總數(shù)n=${C}_{8}^{4}$=70，
ξ=3包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}$=20，
P（ξ=3）=$\frac{m}{n}$=$\frac{20}{70}$=$\frac{2}{7}$．
（ii）由題意知ξ的所有可能取值為1，2，3，4，
P（ξ=1）=$\frac{5}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$，
P（ξ=4）=$\frac{5}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$，
P（ξ=3）=$\frac{2}{7}$．
P（ξ=2）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=$\frac{4}{7}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$

Eξ=$1×\frac{1}{14}+2×\frac{2}{7}+3×\frac{2}{7}+4×\frac{1}{7}$=$\frac{33}{14}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．