Question

15．已知函數(shù)f（x）=-x²+ax（a∈R，b∈R），對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若存在x∈[-1，1]時(shí)，使得f（x）-b=0有解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，0）
• B． [-3，1]
• C． （-3，1）
• D． 不能確定

Answer 1

分析 根據(jù)性質(zhì)得出對(duì)稱(chēng)軸為x=1，求出a，再求出f（x）在[-1.1]上的值域即可．

解答 解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴$\frac{a}{2}$=1，即a=2．
∴f（x）=-x²+2x．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
f_max（x）=f（1）=1，f_min（x）=f（-1）=-3．
∵若存在x∈[-1，1]時(shí)，使得f（x）-b=0有解，
∴-3≤b≤1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．