Question

2．我們把平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f（x），x∈D上的點(diǎn)P（x，y），滿足x∈N^*，y∈N^*的點(diǎn)稱為函數(shù)y=f（x）的“正格點(diǎn)”．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）與函數(shù)g（x）=lgx的圖象有正格點(diǎn)交點(diǎn)，求m的值，并寫出兩個(gè)函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（Ⅱ）對(duì)于（Ⅰ）中的m值，函數(shù)f（x）=sinmx，$x∈（{0，\frac{5}{7}}]$時(shí)，不等式log_ax＞sinmx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知正格點(diǎn)交點(diǎn)坐標(biāo)為（10，1），從而求出m的值，根據(jù)圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（II）令y=log_ax的最小值大于f（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）若y=sinmx與函數(shù)y=lgx的圖象有正格點(diǎn)交點(diǎn)，則此交點(diǎn)必為（10，1），
∴sin10m=1，即10m=$\frac{π}{2}$+2kπ，m=$\frac{π}{20}$+$\frac{kπ}{5}$，k∈Z．
∵m∈（3，4），∴$m=\frac{21π}{20}$．
作出y=sinmx與y=lgx的函數(shù)圖象，如圖所示：

根據(jù)圖象可知：兩個(gè)函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=sin\frac{21π}{20}x$，x∈（0，$\frac{5}{7}$]，
i）當(dāng)a＞1時(shí)，不等式log_ax＜0，而sin$\frac{21π}{20}x$＞0，故不等式log_ax＞sinmx無(wú)解．
ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由圖函數(shù)y=log_ax在$x∈（{0，\frac{10}{21}}]$上為減函數(shù)，
∵關(guān)于x的不等式log_ax＞sinmx在（0，$\frac{5}{7}$]上恒成立，
∴l(xiāng)og_a$\frac{10}{21}$＞1，解得：$\frac{10}{21}＜a＜1$．
綜上，$\frac{10}{21}＜a＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的解與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)恒成立問(wèn)題與函數(shù)最值計(jì)算，屬于中檔題．