Question

14．在△ABC，若（c+a）（c-a）=a²+b²，則角A的最大值為30°．

Answer 1

分析 由已知可得a²=$\frac{1}{2}$（c²-b²），利用余弦定理以及基本不等式求出A的余弦函數(shù)的范圍，然后即可求解A的最大值．

解答 解：∵（c+a）（c-a）=a²+b²，可得：c²-a²=a²+b²，即：a²=$\frac{1}{2}$（c²-b²），
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-\frac{{c}^{2}-^{2}}{2}}{2bc}$=$\frac{c}{4b}$+$\frac{3b}{4c}$≥2$\sqrt{\frac{c}{4b}×\frac{3b}{4c}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A為三角形的內(nèi)角，余弦函數(shù)的值越小則角度越大，
∵cosA≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A≤30°，
即∠A最大值為30°．
故答案為：30°．

點評 本題主要考查了余弦定理的應用，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式求解最值，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．