Question

7．已知函數(shù)f（x）=（ax²+x+2）e^x（a$＞\frac{1}{2}$），其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）在[-2，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求整數(shù)t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=[ax²+（2a+1）x+3]e^x，
因?yàn)閒（x）在[-2，2]上是單調(diào)增函數(shù)，所以x∈[-2，2]時(shí)，f'（x）≥0恒成立．
令g（x）=ax²+（2a+1）x+3，對(duì)稱軸$x=-1-\frac{1}{2a}$，
因?yàn)?a＞\frac{1}{2}$，所以$-2＜-1-\frac{1}{2a}＜0$，
要使x∈[-2，2]時(shí)，f'（x）≥0恒成立，即g（x）≥0時(shí)恒成立，
所以△=（2a+1）²-12a≤0恒成立，解得$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤a≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所
以$\frac{1}{2}＜a≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閍=1，設(shè)h（x）=（x²+x+2）e^x-x-4，則h'（x）=（x²+3x+3）e^x-1，
令ϕ（x）=（x²+3x+3）e^x-1，則ϕ'（x）=（x²+5x+6）e^x，
令ϕ'（x）=0，解得x=-2，-3
當(dāng)ϕ'（x）＞0時(shí)，x＜-3或x＞-2，ϕ（x）是增函數(shù)，
當(dāng)ϕ'（x）＜0時(shí)，-3＜x＜-2，ϕ（x）是減函數(shù)．
所以x=-3是極大值點(diǎn)，x=-2是極小值點(diǎn)，
ϕ（x）的極大值為$ϕ（-3）=\frac{3}{e^2}-1＜0$，極小值為$ϕ（-2）=\frac{1}{e^2}-1＜0$．（8分）
因?yàn)?ϕ（-1）=\frac{1}{e}-1＜0$，ϕ（0）=2＞0．
所以存在x₀∈（-1，0），當(dāng)x∈（-∞，x₀）時(shí)，ϕ（x）＜0，x∈（x₀，+∞）時(shí)，ϕ（x）＞0，
所以h（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
又$h（-4）=\frac{14}{e^4}＞0$，$h（-3）=\frac{8}{e^3}-1＜0$，h（0）=-2＜0，h（1）=4e-5＞0，
由零點(diǎn)存在定理，可知h（x）=0的根x₁∈（-4，-3），x₂∈（0，1），即t=-4，0（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．