Question

7．設(shè)關(guān)于x不等式x²+n²-x＜3nx-n²-n（n∈N^*）的解集中整數(shù)的個數(shù)為a_n，數(shù)列{${\frac{{2{a_n}+1}}{2^n}}\right.$}的前n項和為D_n，則滿足條件?n∈N^*，D_n＜t的常數(shù)t的最小整數(shù)為5．

Answer 1

分析 通過解已知不等式可以求得x的取值范圍；利用錯位相減法可以求得D_n通項公式．

解答 解：原不等式可化為x²-（3n-1）x+2n²+n＜0，即[x-（2n+1）]（x-n）＜0，
可解得n＜x＜2n+1，（n∈N^*），
其中滿足x的整數(shù)個數(shù)a_n=n•${\frac{{2{a_n}+1}}{2^n}}\right.$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，則
D_n=$\frac{3}{{2}^{1}}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$D_n=$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減，得
$\frac{1}{2}$D_n=$\frac{3}{2}$+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{5}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
所以D_n=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
設(shè)f（x）=$\frac{2x+5}{{2}^{x}}$，x≥0，
f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}-（2x+5）{2}^{x}ln2}{{4}^{x}}$＜0，
則f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，x→+∞時，D_n→5，
所以t的最小整數(shù)為5．
故答案是：5．

點評 本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合．根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．