Question

9．定義$a⊕b=\left\{\begin{array}{l}a，a≥b\\ b，a＜b\end{array}\right.$，已知函數(shù)f（x）=sinx⊕cosx，給出下列四個結(jié)論：
（1）該函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]；
（2）f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為π；
（3）當(dāng)且僅當(dāng)$2kπ+π＜x＜2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z）$時，f（x）＜0；
（4）當(dāng)且僅當(dāng)$x=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$時，該函數(shù)取得最大值．其中正確的結(jié)論是（3）．

Answer 1

分析 根據(jù)新定義，化簡函數(shù)f（x），畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象對四個選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．

解答 解：根據(jù)新定義，函數(shù)f（x）=sinx⊕cosx=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，x∈[-\frac{3π}{4}+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ]k∈Z}\\{sinx，x∈[\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ]k∈Z}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示；

由圖象可得f（x）值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{2}}{2}$1]，故（1）錯誤；
又f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為2π，故（2）錯誤；
當(dāng)且僅當(dāng)2kπ-π＜x＜2kπ-$\frac{3π}{4}$（k∈Z）或2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$（k∈Z），
即2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）時，f（x）＜0，故（3）正確；
當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ（k∈Z）或x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取得最大值1，故（4）錯誤．
綜上，正確的結(jié)論是（3）．
故答案為：（3）．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的圖象與值域的應(yīng)用問題，解題時注意分段函數(shù)的值域是各部分函數(shù)值域的并集，是綜合性題目．