Question

19．已知三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA=PB=2，其外接球的表面積為24π，則外接球球心到平面ABC的距離為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為R，由已知可求R²=6，將P-ABC視為正四棱柱的一部分，可求CD，PC，利用余弦定理可求cos∠ACB，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin∠ACB，進(jìn)而可求△ABC外接圓的半徑為r，設(shè)球心到平面ABC的距離為d，由d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$即可得解．

解答 解：設(shè)球的半徑為R，則由4πR²=24π，可得：R²=6，
如圖所示，將P-ABC視為正四棱柱的一部分，
則CD=2R，即PA²+PB²+PC²=4R²=24，可得PC=4，
因?yàn)锳B=2$\sqrt{2}$，AC=BC=2$\sqrt{5}$，
所以cos∠ACB=$\frac{20+20-8}{2×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，sin∠ACB=$\frac{3}{5}$，△ABC外接圓的半徑為r=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
設(shè)球心到平面ABC的距離為d，
所以d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{6-\frac{50}{9}}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，球內(nèi)接多面體的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．