Question

【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.函數(shù).

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）求證:函數(shù)共有兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)零點(diǎn)是,另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi);

（Ⅲ）求證:存在,當(dāng)時(shí), .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意可得，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線可知 ，則.

（Ⅱ）由題意可得，且, , ,據(jù)此可得存在兩個(gè)零點(diǎn),且一個(gè)零點(diǎn)為，第二個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).

（Ⅲ）由題意可得，結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)論可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則存在,當(dāng)時(shí), .

試題解析：

（Ⅰ），

，解得.

（Ⅱ），令得到.

		極小值

, , ,所以存在兩個(gè)零點(diǎn),且一個(gè)零點(diǎn)為，

, , 所以第二個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).

（Ⅲ）證明: ，

令可得

		極大值		極小值

而，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)， 恒成立，

所以存在,當(dāng)時(shí), .