【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面底面,,分別為,中點(diǎn),

(Ⅰ)求證:∥平面

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在一點(diǎn),使平面?若存在,指出點(diǎn)的位置;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】)詳見(jiàn)解析,()不存在.

【解析】

試題()證明線面平行,關(guān)鍵在于找出線線平行.本題條件含中點(diǎn),故從中位線上找線線平行.分別為,中點(diǎn),在中,中點(diǎn),中點(diǎn),所以.又因?yàn)?/span>平面平面,所以平面.()求二面角的大小,有兩個(gè)思路,一是作出二面角的平面角,這要用到三垂線定理及其逆定理,利用側(cè)面底面,可得底面的垂線,再作DF的垂線,就可得二面角的平面角,二是利用空間向量求出大小.首先建立空間坐標(biāo)系. 中點(diǎn).由側(cè)面底面易得.以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.再利用兩平面法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系,求出結(jié)果,()存在性問(wèn)題,一般從假設(shè)存在出發(fā),構(gòu)造等量關(guān)系,將存在是否轉(zhuǎn)化為方程是否有解.

證明:()如圖,連結(jié)

因?yàn)榈酌?/span>是正方形,

所以互相平分.

又因?yàn)?/span>中點(diǎn),

所以中點(diǎn).

中,中點(diǎn),中點(diǎn),

所以

又因?yàn)?/span>平面平面

所以平面4

)取中點(diǎn).在中,因?yàn)?/span>,

所以

因?yàn)槊?/span>底面

且面

所以

因?yàn)?/span> 平面

所以

又因?yàn)?/span>中點(diǎn),

所以

如圖,以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>,所以,則,,,

于是,

因?yàn)?/span>,所以是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)平面的一個(gè)法向量是

因?yàn)?/span>所以

所以

由圖可知,二面角為銳角,所以二面角的余弦值為10

)假設(shè)在棱上存在一點(diǎn),使.設(shè)

. 由()可知平面的一個(gè)法向量是

因?yàn)?/span>,所以

于是,,即

又因?yàn)辄c(diǎn)在棱上,所以共線.

因?yàn)?/span>,,

所以

所以,無(wú)解.

故在棱上不存在一點(diǎn),使成立. 14

練習(xí)冊(cè)系列答案
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甲:73,2458,7264,38,66,7020,4155,67,8,25

乙:12,37,21,554,42,61,4519,6,71,3642,14

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