Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）²-（x-1）（其中常數(shù)a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈（0，1）時，f（x）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）通過討論a的范圍，確定出滿足條件的a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-a（x-1）²-（x-1），（x＞0），
f′（x）=-$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$，
①a＜-$\frac{1}{2}$時，0＜-$\frac{1}{2a}$＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或0＜x＜-$\frac{1}{2a}$，令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
∴f（x）在$（0，-\frac{1}{2a}），（1，+∞）$遞減，在$（-\frac{1}{2a}，1）$遞增；
②-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，令f′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{1}{2a}$或0＜x＜1，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜-$\frac{1}{2a}$，
∴f（x）在$（0，1），（-\frac{1}{2a}，+∞）$遞減，在$（1，-\frac{1}{2a}）$遞增；
③$a=-\frac{1}{2}$，f′（x）=-$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≤0，f（x）在（0，1），（1+∞）遞減；
④a≥0時，2ax+1＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（Ⅱ）函數(shù)恒過（1，0），由（Ⅰ）得：a≥-$\frac{1}{2}$時，符合題意，
a＜-$\frac{1}{2}$時，
f（x）在（0，-$\frac{1}{2a}$）遞減，在$（-\frac{1}{2a}，1）$遞增，不合題意，
故a≥-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．