Question

【題目】如圖是一個(gè)“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中是過(guò)拋物線的兩條互相垂直的弦（點(diǎn)在第二象限），且交于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，，其中為銳角

（1）設(shè)線段的長(zhǎng)為，將表示為關(guān)于的函數(shù)

（2）求“蝴蝶形圖案”面積的最小值，并指出取最小值時(shí)的大小

Answer 1

【答案】（1）（2）“蝴蝶形圖案”面積的最小值為,取最小值時(shí).

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),,在中利用三角函數(shù)的定義可得,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入拋物線的方程,可得關(guān)于的函數(shù).

（2）由題意結(jié)合圖形,可由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,即可得到關(guān)于的函數(shù),進(jìn)而可得“蝴蝶形圖案”面積關(guān)于的函數(shù),換元后利用配方法求其面積的最小值.

（1）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),

在中,

即:，

由此可得點(diǎn)的坐標(biāo)為

點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn),將其代入可得:

,即:

解得:

故:

表示為關(guān)于的函數(shù)為:

（2）根據(jù)（1）得: 表示為關(guān)于的函數(shù)為:

由題意可知:

可由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,其與正半軸夾角為.

可由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,其與正半軸夾角為.

可由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,其與正半軸夾角為.

, ,

設(shè)“蝴蝶形圖案”面積為:

令:

為銳角

則 可得:

則,

故時(shí), 即:

化簡(jiǎn)為: (為銳角)解得:

綜上所述:“蝴蝶形圖案”面積的最小值為,取最小值時(shí).