Question

19．在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t∈R）．以直角坐標系的原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線C₁的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ-3=0．
（1）求出直線l的普通方程以及曲線C₁的直角坐標方程；
（2）點P是曲線C₁上到直線l距離最遠的點，求出這個最遠距離以及點P的直角坐標．

Answer 1

分析 （1）兩式相減消去參數(shù)t得出直線的普通方程，根據(jù)直角坐標與極坐標的對應關(guān)系得出曲線C₁的直角坐標方程；
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），求出P到直線l的距離d關(guān)于θ的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出d的最大值和P點坐標．

解答 解：（1）直線l的普通方程為y=x+1，即x-y+1=0．
曲線C₁的方程為x²+3y²-3=0，即$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
（2）設(shè)P點坐標為（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）．
則P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ-\frac{π}{3}）-1|}{\sqrt{2}}$，
∴當$θ-\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，即θ=$\frac{11π}{6}$時，d取得最大值$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
此時，$\sqrt{3}$cosθ=$\frac{3}{2}$，sinθ=-$\frac{1}{2}$，∴P點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，點到直線的距離計算，屬于中檔題．