Question

5．在平面直角坐標系xOy中，設鈍角α的終邊與圓O：x²+y²=4交于點P（x₁，y₁），點P沿圓順時針移動$\frac{2π}{3}$個單位弧長后到達點Q（x₂，y₂），則y₁+y₂的取值范圍是（3，2$\sqrt{3}$]； 若x₂=$\frac{1}{2}$，則x₁=$\frac{1-3\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 根據三角函數的定義求出函數y₁+y₂，再根據兩角和與差的余弦公式，二倍角公式，化簡，根據余弦函數的性質即可求出．

解答 解：圓的半徑r=2，點P沿圓順時針移動$\frac{2π}{3}$個單位弧長后到達點Q，
則移動的弧度為$\frac{\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{π}{3}$，
由三角函數定義知，x₁=2cosα，y₁=2sinα，$\frac{π}{2}$＜α＜π，
x₂=2cos（α-$\frac{π}{3}$），
y₂=2sin（α-$\frac{π}{3}$），
則y₁+y₂=2sinα+2sin（α-$\frac{π}{3}$）=2sinα+2（sinαcos$\frac{π}{3}$-cosαsin$\frac{π}{3}$）
=2sinα+sinα-$\sqrt{3}$cosα
=3sinα-$\sqrt{3}$cosα
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα-$\frac{1}{2}$cosα）
=2$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（α-$\frac{π}{6}$）≤1，
3＜2$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{3}$，
即y₁+y₂的取值范圍是（3，2$\sqrt{3}$]，
∵x₂=2cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∵cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$＞0，
∴$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$，
則sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
則x₁=2cosα=2cos（α-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2[cos（α-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-sin（α-$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$]
=2（$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{1-3\sqrt{5}}{4}$，
故答案為：（3，2$\sqrt{3}$]，$\frac{1-3\sqrt{5}}{4}$

點評 本題主要考查三角函數的定義，兩角和與差的余弦公式，余弦函數的性質，考查學生的運算能力．