Question

11．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+B=2C，$\frac{1}{cosA}$+$\frac{1}{cosC}$=-$\frac{\sqrt{2}}{cosB}$，則cos$\frac{A-C}{2}$的值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)α=$\frac{A-C}{2}$，則A-C=2α，可A=60°+α，C=60°-α，代入條件化簡(jiǎn)求出cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°．
設(shè)α=$\frac{A-C}{2}$，則A-C=2α，可A=60°+α，C=60°-α，
因?yàn)?\frac{1}{cosA}$+$\frac{1}{cosC}$=-$\frac{\sqrt{2}}{cosB}$，
所以$\frac{1}{cosA}$+$\frac{1}{cosC}$=$\frac{1}{cos（60°+α）}$+$\frac{1}{cos（60°-α）}$=$\frac{cosα}{co{s}^{2}α-\frac{3}{4}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{cosB}$，
因?yàn)閏osB=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{cosα}{co{s}^{2}α-\frac{3}{4}}$=-2$\sqrt{2}$．
整理得（2cos$α-\sqrt{2}$）（2$\sqrt{2}cosα$+3）=0從而得cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以cos$\frac{A-C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確換元變形是關(guān)鍵．