Question

19．已知p：?x∈（0，+∞），x²-2elnx≤m；q：函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{2{x}^{2}-mx+2}$在[2，+∞）上單調(diào)遞減．
（1）若p∨q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時(shí)m的范圍，（1）根據(jù)p，q都為假，求出m的范圍是空集；（2）根據(jù)p，q一真一假，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：設(shè)f（x）=x²-2elnx，（x＞0），
若?x∈（0，+∞），x²-2elnx≤m，
則只需m≥f（x）_min即可，
由f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-e）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{e}$）遞減，在（$\sqrt{e}$，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（$\sqrt{e}$）=0，故m≥0，
故p：m≥0；
若函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{2{x}^{2}-mx+2}$在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
則y=2x²-mx+2在[2，+∞）遞增，
則對(duì)稱軸x=-$\frac{-m}{4}$≤2，解得：m≤8，
故q：m≤8；
（1）若p∨q為假命題，則p假q假，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{m＞8}\end{array}\right.$，無解；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，
則p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m＞8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{m≤8}\end{array}\right.$，
解得：m＞8或m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．