Question

1．如圖，正三棱錐A-BCD中，已知AB=BC=$\sqrt{6}$．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點E，連接AE，DE，通過證明BC⊥平面ADE得出BC⊥AD；
（2）V_A-BCD=V_B-ADE+V_C-ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADE•BC．

解答 證明：（1）取BC的中點E，連接AE，DE．
∵三棱錐A-BCD是正三棱錐，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
又AE?平面ADE，DE?平面ADE，AE∩DE=E，
∴BC⊥平面ADE，
又AD?平面ADE，
∴BC⊥AD．
（2）∵AB=BC=$\sqrt{6}$，∴BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AD=$\sqrt{6}$，
∴AE=DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠AED=$\frac{A{E}^{2}+D{E}^{2}-A{D}^{2}}{2AE•DE}$=$\frac{1}{3}$，∴sin∠AED=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE•sin∠AED=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴V_A-BCD=V_B-ADE+V_C-ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADE•BC=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．