Question

2．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，則該顧客在3次抽獎中至多有兩次獲得一等獎的概率．

Answer 1

分析 （1）記事件A₁={從甲箱中摸出的1個球是紅球}，A₂={從乙箱中摸出的1個球是紅球}，B₁={顧客抽獎1次獲一等獎}，B₂={顧客抽獎1次獲二等獎}，C={顧客抽獎1次能獲獎}，由題意，A₁與A₂相互獨立，${A_1}\overline{A_2}$與$\overline{A_1}{A_2}$互斥，B₁與B₂互斥，且B₁=A₁A₂，B₂=${A_1}\overline{A_2}+$$\overline{A_1}{A_2}$，C=B₁+B₂，由此能求出顧客抽獎1次能獲獎的概率．
（2）顧客抽獎3次獨立重復試驗，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為$\frac{1}{5}$，由此能求出該顧客在3次抽獎中至多有兩次獲得一等獎的概率．

解答 解：（1）記事件A₁={從甲箱中摸出的1個球是紅球}，
A₂={從乙箱中摸出的1個球是紅球}，
B₁={顧客抽獎1次獲一等獎}，B₂={顧客抽獎1次獲二等獎}，
C={顧客抽獎1次能獲獎}，
由題意，A₁與A₂相互獨立，${A_1}\overline{A_2}$與$\overline{A_1}{A_2}$互斥，B₁與B₂互斥，
且B₁=A₁A₂，B₂=${A_1}\overline{A_2}+$$\overline{A_1}{A_2}$，C=B₁+B₂，
∵$P（{A_1}）=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，$P（{A_2}）=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
∴$P（{B_1}）=P（{A_1}{A_2}）=P（{A_1}）P（{A_2}）=\frac{2}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$，
$P（{B_2}）=P（{A_1}\overline{A_2}+\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}）（1-P（{A_2}））+（1-P（{A_1}））P（{A_2}）$
=$\frac{2}{5}×（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{2}{5}）×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
故所求概率為$P（C）=P（{B_1}+{B_2}）=P（{B_1}）+P（{B_2}）=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$．
（2）顧客抽獎3次獨立重復試驗，
由（1）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為$\frac{1}{5}$，
∴該顧客在3次抽獎中至多有兩次獲得一等獎的概率為：
$p=1-\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{124}{125}$．

點評 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．