Question

17．如圖所示，在四邊形ABCD中，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠D=2∠B，AD=1，且△ACD的面積為$\sqrt{2}$
（1）求CD的長度；
（2）若BC=2$\sqrt{3}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠D=2∠B，可得cosD=cos2B=2cos²B-1，sinD=$\sqrt{1-co{s}^{2}D}$，設CD=x，AC=y，在△ACD中，分別利用余弦定理、三角形面積計算公式即可得出．
（2）利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠D=2∠B，
∴cosD=cos2B=2cos²B-1=$2×（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$-1=-$\frac{1}{3}$．
∴sinD=$\sqrt{1-co{s}^{2}D}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
設CD=x，AC=y，
在△ACD中，可得：y²=x²+1²-2xcosD，S_△ACD=$\frac{1}{2}xsinD$=$\sqrt{2}$，
聯(lián)立解得：x=3，y=$\sqrt{13}$．
（2）在△ABC中，由余弦定理可得：$（\sqrt{13}）^{2}$=$（2\sqrt{3}）^{2}$+AB²-2×$2\sqrt{3}$ABcosB，
化為AB²-4AB-1=0，
解得AB=2+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了余弦定理、三角形面積計算公式、同角三角函數(shù)基本關系式、倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．