15.已知P為橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上任意一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓上兩個焦點,試確定點P的位置,使得∠F1PF2最大,并說明理由;并求出此時點P的坐標以及∠F1PF2的余弦值.

分析 由橢圓方程求出橢圓的長軸長及焦距,在焦點三角形中利用余弦定理及基本不等式求得答案.

解答 解:由橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$,得a2=9,∴a=3,2a=6.
b2=4,c2=a2-b2=5,
則|PF1|+|PF2|=6,
∴cos∠F1PF2=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{(|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|)^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-4{c}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{4^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}-1$$≥\frac{16}{2×(\frac{2a}{2})^{2}}-1$=$\frac{16}{18}-1=-\frac{1}{9}$,
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|,即P為橢圓短軸的兩個端點時∠F1PF2最大,
cos∠F1PF2=$-\frac{1}{9}$,此時P(0,±2).

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了焦點三角形中余弦定理的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.[4,+∞)B.(0,$\frac{5}{2}$)C.[$\frac{5}{2}$,4]D.[$\frac{5}{2}$,+∞)

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20.在下列各三角函數(shù)中,負值的個數(shù)是(  )
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4.給出下列四個命題:
①若x>0,則x>sinx恒成立;
②命題“?x>0,x-lnx>0”的否定是“?x>0,x-lnx≤0”
③“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的充分不必要條件;
④命題“若a2+b2=0,則a=0且b=0”的逆否命題是“若a≠0或b≠0,則a2+b2≠0”
正確的是( 。
A.①④B.①②C.②④D.③④

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