Question

4．設F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1的兩個焦點，已知點P在此雙曲線上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．若此雙曲線的離心率等于$\frac{\sqrt{5}}{2}$，則點P到x軸的距離等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 設出點P坐標（x，y），由PF₁⊥PF₂得到一個方程，將此方程代入雙曲線的方程，消去x，求出|y|的值，即得點P到x軸的距離．

解答 解：設點P（x，y），
由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，雙曲線的離心率等于$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得a=2，
∴F₁（-$\sqrt{5}$，0）、F₂（$\sqrt{5}$，0），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂，
∴$\frac{y-0}{x+\sqrt{5}}$•$\frac{y-0}{x-\sqrt{5}}$=-1，
∴x²+y²=5，
代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
∴y²=$\frac{1}{5}$，
∴|y|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴P到x軸的距離是$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的幾何性質，考查雙曲線方程的運用，屬于基礎題．