Question

在三棱柱PBC-QAD中，側面ABCD為矩形，PA⊥CD
（1）求證：平面PAD⊥平面PDC；
（2）若BC=

6

，PB=

2

，PC=2，AB=

6

3

，求平面PAB與平面平PBC夾角的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）先證明CD⊥平面PAD，再證明平面PAD⊥平面PDC；
（2）求出△PAB、△PBC的面積，即可求平面PAB與平面平PBC夾角的大�。�

解答： （1）證明：∵側面ABCD為矩形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC；
（2）△PAB中，PA⊥AB，PB=

2

，AB=

6

3

，∴PA=

2 3

3

，∴S_△PAB=

1

2

×

6

3

×

2 3

3

=

2

3

，
△PBC中，BC=

6

，PB=

2

，PC=2，∴BP⊥PC，∴S_△PBC=

1

2

×2×

2

=

2

，
∴平面PAB與平面平PBC夾角的余弦為

1

3

，
∴平面PAB與平面平PBC夾角為arccos

1

3

．

點評：本題考查線面垂直、平面與平面垂直，考查平面與平面的夾角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．