Question

15．如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A、B的6個(gè)點(diǎn)C₁、C₂、C₃、C₄、C₅、C₆，線段AB上有異于A、B的四個(gè)點(diǎn)D₁、D₂、D₃、D₄．問：
（1）以這10個(gè)點(diǎn)（不包括A，B）中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作幾個(gè)三角形？其中含點(diǎn)C₁的三角形有幾個(gè)？
（2）以圖中的12個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)四邊形？

Answer 1

分析 （1）由題意需要分三類，第一類，3個(gè)點(diǎn)全在半圓周上，第二類，2個(gè)點(diǎn)在半圓周上，第三類，1個(gè)點(diǎn)在半圓周上，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．
（2）由題意需要分三類，第一類，4個(gè)點(diǎn)全在半圓周上，第二類，3個(gè)點(diǎn)在半圓周上，第三類，2個(gè)點(diǎn)在半圓周上，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．

解答 解：（1）由題意需要分三類，第一類，3個(gè)點(diǎn)全在半圓周上有C₆³=20個(gè)，
第二類，2個(gè)點(diǎn)在半圓周上，有C₆²C₄¹=60個(gè)，
第三類，1個(gè)點(diǎn)在半圓周上，有C₆¹C₄²=36個(gè)，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，20+60+36=116個(gè)，
其中含點(diǎn)C₁的三角形，第一類，3個(gè)點(diǎn)全在半圓周上有C₅²=10個(gè)，
第二類，2個(gè)點(diǎn)在半圓周上，有C₅¹C₄¹=20個(gè)，
第三類，1個(gè)點(diǎn)在半圓周上，有C₄²=6個(gè)，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，10+20+6=36個(gè)‘
（2）由題意需要分三類，第一類，4個(gè)點(diǎn)全在半圓周上有C₆⁴=15個(gè)，
第二類，3個(gè)點(diǎn)在半圓周上，有C₆³C₆¹=120個(gè)，
第三類，2個(gè)點(diǎn)在半圓周上，有C₆²C₆²=225個(gè)，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，15+120+225=360個(gè)．

點(diǎn)評 本題主要考查了分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，如何分類是關(guān)鍵，屬于中檔題．