Question

9．已知x，y，z∈R，且x+3y-2z=3，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 利用題中條件：“x+3y-2z=3”構(gòu)造柯西不等式：（x²+y²+z²）×（1+9+4 ）≥（x+3y-2z）²，這個(gè)條件進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：由柯西不等式，得：（x²+y²+z²）×（1+9+4 ）≥（x+3y-2z）²，
即（x+3y-2z）²≤14（x²+y²+z²），
因?yàn)閤+3y-2z=3，
所以9≤14（x²+y²+z²）．
所以x²+y²+z²≥$\frac{9}{14}$，即x²+y²+z²的最小值為$\frac{9}{14}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用：（x²+y²+z²）×（1+9+4 ）≥（x+3y-2z）²．