Question

4．設(shè)f（x）=x-$\frac{a-1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$+ln2）處的切線方程；
（2）若x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＜1時(shí)，在[$\frac{1}{e}$，e]上是否存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞e-1成立？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（$\frac{1}{2}$），代入切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值，得到a的具體范圍即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$時(shí)，f（x）_max＞e-1即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，${f^'}（x）=1-\frac{1}{x}$，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}+ln2）$處的切線的斜率為${f^'}（\frac{1}{2}）=1-\frac{1}{{\frac{1}{2}}}=-1$．
所求切線方程為$y-（\frac{1}{2}+ln2）=-（x-\frac{1}{2}）$，即x+y-ln2-1=0．
（2）$f'（x）=1+\frac{a-1}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-ax+（a-1）}}{x^2}=\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x^2}（x＞0）$，
令f′（x）=0得，x₁=1，x₂=a-1，
①當(dāng)a-1≤0即a≤1時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

由表知x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)0＜a-1＜1即1＜a＜2時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，a-1）	a-1	（a-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由表知x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，不合題意；
③當(dāng)a-1=1即a=2時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	+
f（x）	遞增	非極值	遞增

由表知x=1不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，不合題意；
④當(dāng)a-1＞1即a＞2時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由表知x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，適合題意；
綜上所述，當(dāng)a＞2時(shí)，x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)． 即所求取值范圍是（2，+∞）．
（3）假設(shè)當(dāng)a＜1時(shí)，在$[\frac{1}{e}，{e}]$存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞e-1成立，
則只需證明$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$時(shí)，f（x）_max＞e-1即可．
由（2）知，當(dāng)a＜1時(shí)，
函數(shù)f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上遞減，在[1，e]上遞增，∴$f{（x）_{max}}=max\{f（\frac{1}{e}），f（{e}）\}$．
所以只需證明f（ e）＞e-1或$f（\frac{1}{e}）＞{e}-1$即可．
∵$f（{e}）-（{e}-1）={e}-\frac{a-1}{e}-a-（{e}-1）$=$\frac{{（{e}+1）（1-a）}}{e}$
由a＜1知，$\frac{{（{e}+1）（1-a）}}{e}＞0$
∴f（ e）-（ e-1）＞0即f（ e）＞e-1成立
所以假設(shè)正確，即當(dāng)a＜1時(shí)，在$x∈[\frac{1}{e}，{e}]$上至少存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞e-1成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，分類討論思想，是一道綜合題．