Question

17．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，由正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，化簡(jiǎn)可得sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，由此求得A的值．
（2）若a=2，由△ABC的面積$\sqrt{3}$，求得bc=4 ①；再利用余弦定理可得 b+c=4 ②，結(jié)合①②求得b和c的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
利用正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，
化簡(jiǎn)可得$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，∴A=60°．
（2）若a=2，△ABC的面積為$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，∴bc=4 ①．
再利用余弦定理可得a²=4=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-3•4，
∴b+c=4 ②．
結(jié)合①②求得b=c=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．