Question

已知函數f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）當a∈[-2，2]時，求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若對于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（ I）先求出f'（x），得出x∈（-∞，0），f'（x）＜0；x∈（0，+∞），f'（x）＞0，從而f（0）=b是唯一極值．
（Ⅱ）由題意得函數f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）與f（-1）兩者中的較大者．有

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立，從而求出b的范圍．

解答： 解：（ I）f'（x）=x（4x²+3ax+4），
顯然a∈[-2，2]4x²+3ax+4＞0．
當x∈（-∞，0），f′（x）＜0；
x∈（0，+∞），f′（x）＞0，
所以f（0）=b是唯一極值．
（Ⅱ）由條件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，從而4x²+3ax+4＞0恒成立．
當x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f'（x）＞0．
因此函數f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）與f（-1）兩者中的較大者．
為使對任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
當且僅當

f(1)≤1 f(-1)≤1

，即

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立．
所以b≤-4，因此滿足條件的b的取值范圍是（-∞，-4]．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．