15.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ax(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的最大值;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式f(x)<0在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)求證:($\frac{1}{n}$+1)n<e,n∈N*(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到f(x)的最大值;
(Ⅱ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的符號(hào),判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,從而求出a的范圍即可;
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知ln(x+1)<x在(0,+∞)上恒成立,所以$\frac{ln(x+1)}{x}<1$在(0,+∞)上恒成立,即可證明結(jié)論.

解答 (Ⅰ)解:f(x)的定義域?yàn)椋?1,+∞).
當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ln(x+1)-x,$f'(x)=-\frac{x}{x+1}$.
當(dāng)-1<x<0時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)<0.
所以,函數(shù)f(x)在(-1,0)上是增函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù).
所以,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值f(0)=0.…(4分)
(Ⅱ)解:$f'(x)=\frac{1}{x+1}-a$.
(1)若a≥1,則$f'(x)=\frac{1}{x+1}-a<0$,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)<f(0)=0在(0,+∞)上恒成立;
(2)若a≤0,則$f'(x)=\frac{1}{x+1}-a>0$,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
f(x)>f(0)=0,不符合題意.
(3)證明:若0<a<1,則$f'(x)=\frac{{-a[x-(\frac{1}{a}-1)]}}{x+1}$,且$\frac{1}{a}-1>0$.
當(dāng)$x∈(0,\frac{1}{a}-1)$時(shí),f'(x)>0,f(x)在$(0,\frac{1}{a}-1)$上單調(diào)遞增,
此時(shí)f(x)>f(0)=0,不符合題意.
綜上,所求a的取值范圍[1,+∞).…(8分)
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知ln(x+1)<x在(0,+∞)上恒成立,
所以$\frac{ln(x+1)}{x}<1$在(0,+∞)上恒成立.
于是$ln{(x+1)^{\frac{1}{x}}}<1$,所以${(x+1)^{\frac{1}{x}}}<e$.
取$x=\frac{1}{n}$,得${(\frac{1}{n}+1)^n}<e$.…(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查不等式的證明,是一道綜合題.

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